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怎样证明根号2是无理数?

数学教育 小K 1771浏览 0评论

怎样证明the-square-root-of-2-is-an-irrational-number-1是无理数?

这个问题曾作为上海市高级教师职称考试考题. the-square-root-of-2-is-an-irrational-number-1不是有理数,这一事实的证明,最早出现在亚里士多德(Aristotle)的著作中,但他声明来源于毕达哥拉斯学派.欧几里德(Euclid)在《几何原本》中也给出了证明.

假设the-square-root-of-2-is-an-irrational-number-1是有理数,那么必有两个正整数nm,使

the-square-root-of-2-is-an-irrational-number-2

而且nm互素,且m≠0.两边平方,有

the-square-root-of-2-is-an-irrational-number-3

于是有 =2m²,则n是2的倍数.

再设n=2k,其中k为整数.代入=2m²,得

4=2m²

即 2=.

m也是2的倍数.可见nm不是互素的,与前面的假设矛盾.因此不可能是一个有理数.

上述这种证明问题的方法叫反证法.在数学中,反证法是一种重要的推理方法,在以后的学习中还会遇到.

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