最新消息:

贾宪三角——从一道考题谈起

数学教育 小K 2300浏览 0评论

贾宪三角——从一道考题谈起

一、试题(2013年秋季浦东新区初一数学期末考题)

贾宪三角(如图1)最初于11世纪被发现,它载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中.这一成果比国外领先600年!这个三角形的构造法则是(见图2):两腰都是1,其余每个数为其上方左右两数之和.它给出(a+bnn为正整数)展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应着(a+b)²=a²+2ab+b²的展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着Jiaxian-triangle-1展开式中的系数;等等.

Jiaxian-triangle-2

(1)请根据贾宪三角直接写出Jiaxian-triangle-0的展开式:

Jiaxian-triangle-3

(2)请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的Jiaxian-triangle-4的结果.

二、试题的解

Jiaxian-triangle-5

三、问题的引申与拓展

贾宪三角

贾宪(约11世纪中叶),生平事迹记载甚少.据有限资料推测,贾宪生活在北宋时代,其著书年代大致在公元1023~1050年间.

Jiaxian-triangle-6

Jiaxian-triangle-7

Jiaxian-triangle-8

贾宪的主要数学成就反映于《算法敩古集》二卷和《黄帝九章算法细草》9卷之中,可惜前者已失传,后者被杨辉(13世纪)著《详解九章算法》全部抄录,从杨辉抄录的书中可知贾宪的主要成就有二:

(1)创造了“开方作法本源”图,即贾宪三角.它比中亚的卡西、德国的阿披亚努斯和法国帕斯卡“帕斯卡三角形”要早600年以上.有段时间的中学教科书把它叫做“杨辉三角”,这是不正确的.

(2)增乘开方法.它是一种开高次方的新方法.这种方法不仅适用于开平方、开立方,而且还可以用于开三次以上的任意次方.它与1804年意大利的鲁菲尼(P.Ruffin,1763-1822)和英国的霍纳(W.G..Horner,1786-1837)的方法完全一致,西方叫“鲁菲尼-霍纳方法”,但贾宪比他们早约770年.

贾宪三角形的有趣性质

贾宪三角有许多有趣性质,下面略举几例.

1.同行关于中心(元素)对称的两个数相等.

Jiaxian-triangle-9

2.同行各数之和等于.

Jiaxian-triangle-10

3.沿斜线每一列数都构成三角垛数列.

Jiaxian-triangle-11

4.改变斜线角度,其斜线上的各数之和构成斐波拉契数列.

Jiaxian-triangle-12

5.在贾宪三角形中的菱形内部各数排成行列式,其行列式都等于1.

Jiaxian-triangle-13

6.与谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)三角形

Jiaxian-triangle-14

这是数学家谢尔宾斯基创设的分形,图形下面蓝色的分数表述阴影部分的面积,若无限地作下去,阴影部分的面积不断增加,其边长趋于无穷大,白色的部分不断减少而趋于0.如果将贾宪三角形中的奇数所在三角形涂上阴影,居然是谢尔宾斯基三角形!

Jiaxian-triangle-15

转载请注明:小康的个人主页~ » 贾宪三角——从一道考题谈起

您必须 登录 才能发表评论!