贾宪三角——从一道考题谈起

贾宪三角——从一道考题谈起

一、试题（2013年秋季浦东新区初一数学期末考题）

贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，它载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中.这一成果比国外领先600年！这个三角形的构造法则是（见图2）：两腰都是1，其余每个数为其上方左右两数之和.它给出（a+b）ⁿ（n为正整数）展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着(a+b)²=a²+2ab+b²的展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数；等等.

（1）请根据贾宪三角直接写出的展开式：

（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的的结果．

二、试题的解

三、问题的引申与拓展

贾宪三角

贾宪（约11世纪中叶），生平事迹记载甚少.据有限资料推测，贾宪生活在北宋时代，其著书年代大致在公元1023~1050年间.

贾宪的主要数学成就反映于《算法敩古集》二卷和《黄帝九章算法细草》9卷之中，可惜前者已失传，后者被杨辉(13世纪)著《详解九章算法》全部抄录，从杨辉抄录的书中可知贾宪的主要成就有二：

（1）创造了“开方作法本源”图，即贾宪三角.它比中亚的卡西、德国的阿披亚努斯和法国帕斯卡“帕斯卡三角形”要早600年以上.有段时间的中学教科书把它叫做“杨辉三角”，这是不正确的.

（2）增乘开方法.它是一种开高次方的新方法.这种方法不仅适用于开平方、开立方，而且还可以用于开三次以上的任意次方.它与1804年意大利的鲁菲尼（P.Ruffin,1763-1822）和英国的霍纳（W.G..Horner,1786-1837）的方法完全一致，西方叫“鲁菲尼-霍纳方法”，但贾宪比他们早约770年.

贾宪三角形的有趣性质

贾宪三角有许多有趣性质，下面略举几例.

1.同行关于中心（元素）对称的两个数相等.

2.同行各数之和等于.

3.沿斜线每一列数都构成三角垛数列.

4.改变斜线角度，其斜线上的各数之和构成斐波拉契数列.

5.在贾宪三角形中的菱形内部各数排成行列式，其行列式都等于1.

6.与谢尔宾斯基（W.Sierpinski,1882-1969）三角形

这是数学家谢尔宾斯基创设的分形，图形下面蓝色的分数表述阴影部分的面积，若无限地作下去，阴影部分的面积不断增加，其边长趋于无穷大，白色的部分不断减少而趋于0.如果将贾宪三角形中的奇数所在三角形涂上阴影，居然是谢尔宾斯基三角形！