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滚动的圆在拐角处究竟发生了什么?(顿悟后撰写)

数学教育 小K 2483浏览 0评论

由这道很有趣的问题引发了我一系列的思考……

例:半径为1的圆在边长为6的正方形外,延正方形四边滚动一周,圆所覆盖的面积与圆心所经过的路径长

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圆在边上滚动时,圆上的定点所经过的路程(深绿)=圆 滚过的路程(深红),此时圆心方向向右(如左图),在拐角处(如右图),圆抵住了拐角的顶点,圆心(动点)到拐角(定点)的距离始终等于圆的半径,于是形 成了一小段圆弧,而圆所覆盖的图形也形成了一个扇形,但必须要强调的是此时圆依旧在滚动,但和在平面滚动不同,此时圆滚动时圆上定点所经过的路程是1/4的圆,但圆滚过的路程却是0,我们把这种现象定义为圆的自转。

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好,如果现在不是圆,而是等边三角形呢?

首先是拐角处图,如左图(圆在正三角形外延滚动,圆心的轨迹)怎么画?过顶点向外做两边的垂线段,长度取圆的半径,以该顶点为圆心以圆的半径为半径画弧,全图如右图,发现其实三段弧圆心角之和是360°,全图如下右图,其实这个规律在做正方形时就存在

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由此可以进一步推广到正n边形,得到以下推论

推论:以r为半径的圆在正n边形(边长为a)的外延滚动,

圆心经过的轨迹是:

圆在滚动过程中所覆盖的面积是:

好进一步思考,正n边形的极限是圆,而圆可理解为处处皆为拐角,对于下述问题

小圆在大圆外延滚动一周,小圆须滚几圈(大圆半径=n小圆半径)

由于角度时时都在变化,所以小圆在滚动时也在做着自转(对于自转的解释上文已陈述),所以可见小圆滚的圈数是n+1,当然对于这个问题我建议考虑小圆圆心所经过的轨迹,它是永远不会欺骗你的眼睛的。

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