滚动的圆在拐角处究竟发生了什么？（顿悟后撰写）

由这道很有趣的问题引发了我一系列的思考……

例：半径为1的圆在边长为6的正方形外，延正方形四边滚动一周，圆所覆盖的面积与圆心所经过的路径长

圆在边上滚动时，圆上的定点所经过的路程（深绿）=圆 滚过的路程（深红），此时圆心方向向右（如左图），在拐角处（如右图），圆抵住了拐角的顶点，圆心（动点）到拐角（定点）的距离始终等于圆的半径，于是形 成了一小段圆弧，而圆所覆盖的图形也形成了一个扇形，但必须要强调的是此时圆依旧在滚动，但和在平面滚动不同，此时圆滚动时圆上定点所经过的路程是1/4的圆，但圆滚过的路程却是0，我们把这种现象定义为圆的自转。

好，如果现在不是圆，而是等边三角形呢？

首先是拐角处图，如左图（圆在正三角形外延滚动，圆心的轨迹）怎么画？过顶点向外做两边的垂线段，长度取圆的半径，以该顶点为圆心以圆的半径为半径画弧，全图如右图，发现其实三段弧圆心角之和是360°，全图如下右图，其实这个规律在做正方形时就存在

由此可以进一步推广到正n边形，得到以下推论

推论：以r为半径的圆在正n边形（边长为a）的外延滚动，

圆心经过的轨迹是：

圆在滚动过程中所覆盖的面积是：

好进一步思考，正n边形的极限是圆，而圆可理解为处处皆为拐角，对于下述问题

小圆在大圆外延滚动一周，小圆须滚几圈（大圆半径=n小圆半径）

由于角度时时都在变化，所以小圆在滚动时也在做着自转（对于自转的解释上文已陈述），所以可见小圆滚的圈数是n+1，当然对于这个问题我建议考虑小圆圆心所经过的轨迹，它是永远不会欺骗你的眼睛的。