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惊呆,两点之间最快的竟然是曲线,值得思考!

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最速降线 

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看图说话,图片很形象地给了答案。大伙是不是也大感意外呢?

经过无数学霸的论证和科学实验,上图红色路线是最快的路线,此曲线也因此被称为“最速曲线”。

 

话说这曲线有什么用呢?

一个最简单的例子:如果你是一个滑雪运动员,目标是最短时间冲线,你根本就不在乎两点间的最短路径,而是最快路径。如果你沿着最佳曲线下滑,你会获得更多的优势……

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等时降线

从起点到终点,有无数条道路,直线与折线是大多数人会选择的路线。开拓思维,创造性地选择曲线路线,正确的选择是成功的一半。

从起点到终点,小球能够滚动,在于其不安现状的同时能够顺势而行,借力地心引力才能让自己不断向前。

同样,在我们的业务、事业、人生中,都需要不断的创新开拓,创新思路、方法,开拓市场、视野,借力顾客伙伴、数码科技。

等时降线性质:

在“等时降线”的不同位置同时出发,却在同一时刻抵达终点。

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我们要确保自己在“最速曲线”上。业务上,我们要用为市场检验过的最佳的业务开展方法;事业上,我们要确保自己在一个最佳的平台上投入一个能最快到达我们目标的事业中去;人生中,我们要时刻思利及人,践行健康、家庭、事业的三平衡,时间、财富、精神的三富足以及个人、集体、社会的三和谐。

无论处于什么位置,只要选对了方法,站对了平台,用对了理念,那么,现在就行动吧,一切都为时未晚!

两点之间最快的路线竟然不是直线,伙伴们,起点与目标之间最快的路线其实是你的选择与努力。

 

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那么是不是所有弯曲轨道上滚动的球都能比斜直轨道滚动的球先到呢?那也不是,轨道的弯曲程度要恰到好处。这是数学物理中一个古老而著名的问题——最速降线 问题。它是瑞士数学家约翰·伯努利在1696年6月号的《教师学报》上向当时的科学家们提出来的。这个问题是求从给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条 曲线,使得一个质点沿这曲线从给定点下滚所用时间最短,当然摩擦和空气阻力都忽略。用现代的方式来表达,这个问题就是要使表示下降时间的积分取极小值。
当时许多著名的科学家,如牛顿、莱布尼兹、约翰·伯努利和他的哥哥詹姆斯·伯努利等,都展开了紧张的研究工作。
伽利略在1630年和1638年曾系统地研究过这个问题,他给出的答案是圆弧。但这是一个错误的结果。
牛顿、莱布尼兹和伯努利兄弟都得到了正确的解答。所有这些解法均发表在1697年5月号的《教师学报》上。结论是:沿旋轮线下落的物体最省时。
这些解法中约翰·伯努利本人的答案最有趣。他利用力学与光学在某些场合下的相似之处,进行了巧妙的构思,他首先抓住了物体由高处向低处落下时速度不断加快 这个事实,把它与光线从一个媒质进入另一个媒质速度也发生变化相类比。伯努利认为:既然光由一种媒质传到另一种媒质,其速度的变化是两种质的折射率不同造 成的,那么对质点下降来说,其速度的改变就是由于空间的不均匀性造成的。他设想,质点最速下降的路径是和光线在具有适当选择过的变折射率的介质中所取的路 径相同。在不同介质交界面处光线是按折射定律行进的。把介质分成有限个数的层,从一层到另一层折射率有明显的变化,然后让层数趋于无穷。这样伯努利就把力 学中的最速降线问题化为光在不同媒质中传播问题,沿着这一思路,他应用数学工具,一举解决了这个难题。
质点沿旋轮线下落最省时,因此它也被称为最速降线。车轮在平地上滚动,轮沿上不动点在空间描画的轨迹叫做旋轮线,恰巧物体沿倒过来斜放着的此线降落最省 时。旋轮线还有一个名称叫做摆线,由于惠更斯等人对钟摆的研究,摆线(旋轮线)在这以前已经是众所周知的了。当伯努利兄弟发现摆线就是最速降线问题的解 时,感到万分惊奇。
求最速降线的问题其意义大大超过了问题的本身,因为很多物理过程,均可用求某些物理量的极值来解决。伯努利兄弟和其他科学家们从最速降线这个问题出发,创立了数学的一个分支——变分法。
这个问题我们仔细想一想,也许会有一些领悟。这个问题是讨论哪条下落的路线花的时间最少,这不仅与路线的长短有关,而且跟下滑的速度有关。沿斜线下滑,做 匀加速运动,速度从零开始,缓慢而均匀地增大;沿摆线下滑,速度也是从零开始,但是开始滑行就是一段陡坡,速度迅速增大,滑行速度显然比在斜线上快,虽然 在摆线是滑行多走一些路程,但究竟在哪条线上用得时间短些,就很难说了。
既然最速降线就是摆线,那么我们先了解一下摆线的性质。当直径为r的动圆C沿着定直线L滚动时,动圆圆周上一点M所画出的曲线叫摆线。摆线在它与直线L的 两个相邻交点O、q之间的部分叫一个拱。摆线最高点到定直线的距离2r叫拱高。直线Oq的长度为2πr。摆线一拱的弧长是拱高的4倍为8r(见图1)经过 推导得到摆线的方程为:
x=r(θ-sinθ)
y=r(1-cosθ)
这个方程在我们研究最速降线时是很有用处的。

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图1

通过计算我们可以得到确定的答案。
首先我们假设沿斜线和摆线下滑的两个球质量的一样的,两条轨道是绝对光滑的,小球开始下滑时初速度为零,小球下滑到终点时,离地面的高度下降了y,那么它 的重力势能就减少了mgy(见图2)。本证明是在选择滑行轨道是半拱摆线弧及其对应斜线的情况下进行的。
从图2中我们可以看到

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图2

m——小球的质量
g——重力加速度
设小球的速度为v,小球的动能为(1/2)mv2
根据能量守恒定律动能的由减少的势能转化而来的,因此得到:
(1/2)mv2=mgy
∴v=√(2gy)
速度v等于路程s对时间t的导数ds/dt,代入上式
ds/dt=√(2gy)
∴dt=ds/√(2gy)
设滑行曲线的参数方程是x=φ(θ), y=□(θ),用撇号表示对参数θ的导数,利用微分三角形得到
ds=(√x′2+y′2)dθ
∴dt=[(√x′2+y′2)/√(2gy)]dθ
对dt积分,就得到从θ=θ1的点下滑到θ=θ2的点所需的时间是
T=∫[(√x′2+y′2)/√(2gy)]dθ
用直角坐标表示则是
dt=[√1+y′2/√(2gy)]dx
T=∫[√1十y′2/√(2gy)]dx
这个公式对在O(0、0)、A(πr、2r)之间的线同样适用。我们先考虑斜线。O(0、0)和A(πr、2r)间线段0A的方程为:
Y=(2/π)x(0≤x≤πr)
在斜线上滑完全程的时间是
T1=∫[√1+y′2/√(2gy)]dx=∫[√1+(2/π)2]/√(4g/π)dx
=π/g(1+4/π2)∫dx/2√x=π/g(1+4/π2)√x|
=√r(π2+4)/g
在最速降线上滑行,它滑过的是半拱摆线弧,将摆线的参数方程
x=r(θ-sinθ)
y=r(1-cosθ)(0≤θ≤π)
代入,在最速降线上滑完全程的时间是
T2=∫(√1+y′2/√2gy)dθ=∫[√2r2(1-cosθ)/√2gr(1-cosθ)]dθ
=√r/g∫dθ=√r/gθ|
=(√r/g)π
由于√r(π2+4)/g>(√rπ2/g)=(√r/g)π
所以T1>T2在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间长。本证明是选择滑行轨道是半拱摆线弧和它对应的斜线的条件下进行的。
从图2中我们可以看到,在三角形OBA中,
OB=rπ,
BA=2r,
根据勾股定理
OA2=OB2+BA2
OA2=(rπ)2+(2r)2
OA=√(rπ)2+(2r)2=r√π2+4,令π=3.14
OA=3.7r
弧OMA=4r
OMA-OA=0.3r,
摆线弧和它对应的斜线长度之差为0.3r。
设r=0.5米,OA=1.85米,OMA=2米,OMA和OA相差15厘米。这是一个不小的距离。如果把r=0.5米,g=9.8米/秒2代入T1和T2中,即可得到:
T1=√r(π2+4)/g=0.84秒
T2=(√r/g)π=0.71秒
由此可以看出,在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间多用了0.13秒,我们在设计最速降线展品时要选择适当的r,使展品不至于太大,又有明显的效果。
在我国古代建筑中有一种“大屋顶”的房子。北京故宫的房子就是这个样子。从侧面看,屋顶不是三角形,而是两条曲线,屋檐上翘,显得格外雄壮。大屋顶上的曲 线就是最速降线。把屋顶修成最速降线,可以让降落在屋顶上的雨水以最快的速度流走,这对保护建筑物很有好处。
科技馆用实物再现了科学史上这一重大的发现。从中我们可以知道:很多数学、物理的定理、定律都是彼此相互关联着的,认识事物要透过表面现象,去发现事物之间的内在联系。这才能举一反三,真正认识到事物的本质。

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