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n条直线相交有几对对顶角?几对邻补角?

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在同一平面内,n条直线相交有多少对对顶角?多少对邻补角?

首先考虑只有两条直线的情况,两直线不平行,那么会有一个交点,2对对顶角和4对邻补角
由此我们也可以知道,对顶角数
= 交点个数 * 2;邻补角数 = 交点个数 *
4

考虑有多条直线,
画第3条直线,只要和前2条都不平行,就会和前2条直线都相交,增加2个交点,共1+2个交点。
画第4条直线,只要和前3条都不平行,就会和前3条直线都相交,增加3个交点,共1+2+3个交点。
画第5条直线,只要和前4条都不平行,就会和前4条直线都相交,增加4个交点,共1+2+3+4个交点。
画第n条直线,只要和前n-1条都不平行,就会和n-1条直线都相交,增加n-1个交点,共1+2+3+4+
… + n-1个交点。
所以,n条相互都不平行的直线,交点个数=1+2+…+(n-1)=
n(n-1)/2个
所以:对顶角数为n(n-1)对;邻补角数为2n(n-1)对。

当然,以上是没有考虑三条或三条以上的直线相交于同一点的

现在我们考虑这种情况:当已经有(x-1)条直线交于同一点,假设现在对顶角数为N,那么当新增加一条直线,通过公共交点,那么他会和现在已有的所有的直线形成新的对顶角,新对顶角的对数是2(x-1)对,由此可以推论出,即使出现公共交点,对顶角数量是不变的,同理,邻补角的个数也是不变的。

所以,即使所有的直线全部交于一点:对顶角数同样为n(n-1)对;邻补角数同样为2n(n-1)对。

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